Калькулятор позволяет переводить целые и дробные числа из одной системы счисления в другую. Основание системы счисления не может быть меньше 2 и больше 36 (10 цифр и 26 латинских букв всё-таки). Длина чисел не должна превышать 30 символов. Для ввода дробных чисел используйте символ. или, . Чтобы перевести число из одной системы в другую, введите исходное число в первое поле, основание исходной системы счисления во второе и основание системы счисления, в которую нужно перевести число, в третье поле, после чего нажмите кнопку "Получить запись".
Исходное число записано в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системе счисления .
Хочу получить запись числа в 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 -ой системе счисления .
Получить запись
Выполнено переводов: 3336969
Также может быть интересно:
- Калькулятор таблицы истинности. СДНФ. СКНФ. Полином Жегалкина
Системы счисления
Системы счисления делятся на два типа: позиционные и не позиционные . Мы пользуемся арабской системой, она является позиционной, а есть ещё римская − она как раз не позиционная. В позиционных системах положение цифры в числе однозначно определяет значение этого числа. Это легко понять, рассмотрев на примере какого-нибудь числа.
Пример 1 . Возьмём число 5921 в десятичной системе счисления. Пронумеруем число справа налево начиная с нуля:
Число 5921 можно записать в следующем виде: 5921 = 5000+900+20+1 = 5·10 3 +9·10 2 +2·10 1 +1·10 0 . Число 10 является характеристикой, определяющей систему счисления. В качестве степеней взяты значения позиции данного числа.
Пример 2 . Рассмотрим вещественное десятичное число 1234.567. Пронумеруем его начиная с нулевой позиции числа от десятичной точки влево и вправо:
Число 1234.567 можно записать в следующем виде: 1234.567 = 1000+200+30+4+0.5+0.06+0.007 = 1·10 3 +2·10 2 +3·10 1 +4·10 0 +5·10 -1 +6·10 -2 +7·10 -3 .
Перевод чисел из одной системы счисления в другую
Наиболее простым способом перевода числа с одной системы счисления в другую, является перевод числа сначала в десятичную систему счисления, а затем, полученного результата в требуемую систему счисления.
Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную систему счисления
Для перевода числа из любой системы счисления в десятичную достаточно пронумеровать его разряды, начиная с нулевого (разряд слева от десятичной точки) аналогично примерам 1 или 2. Найдём сумму произведений цифр числа на основание системы счисления в степени позиции этой цифры:
1.
Перевести число 1001101.1101 2 в десятичную систему счисления.
Решение:
10011.1101 2 = 1·2 4 +0·2 3 +0·2 2 +1·2 1 +1·2 0 +1·2 -1 +1·2 -2 +0·2 -3 +1·2 -4 = 16+2+1+0.5+0.25+0.0625 = 19.8125 10
Ответ:
10011.1101 2 = 19.8125 10
2.
Перевести число E8F.2D 16 в десятичную систему счисления.
Решение:
E8F.2D 16 = 14·16 2 +8·16 1 +15·16 0 +2·16 -1 +13·16 -2 = 3584+128+15+0.125+0.05078125 = 3727.17578125 10
Ответ:
E8F.2D 16 = 3727.17578125 10
Перевод чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Для перевода чисел из десятичной системы счисления в другую систему счисления целую и дробную части числа нужно переводить отдельно.
Перевод целой части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Целая часть переводится из десятичной системы счисления в другую систему счисления с помощью последовательного деления целой части числа на основание системы счисления до получения целого остатка, меньшего основания системы счисления. Результатом перевода будет являться запись из остатков, начиная с последнего.
3.
Перевести число 273 10 в восьмиричную систему счисления.
Решение:
273 / 8 = 34 и остаток 1, 34 / 8 = 4 и остаток 2, 4 меньше 8, поэтому вычисления завершены. Запись из остатков будет иметь следующий вид: 421
Проверка
: 4·8 2 +2·8 1 +1·8 0 = 256+16+1 = 273 = 273 , результат совпал. Значит перевод выполнен правильно.
Ответ:
273 10 = 421 8
Рассмотрим перевод правильных десятичных дробей в различные системы счисления.
Перевод дробной части числа из десятичной системы счисления в другую систему счисления
Напомним, правильной десятичной дробью называется вещественное число с нулевой целой частью . Чтобы перевести такое число в систему счисления с основанием N нужно последовательно умножать число на N до тех пор, пока дробная часть не обнулится или же не будет получено требуемое количество разрядов. Если при умножении получается число с целой частью, отличное от нуля, то целая часть дальше не учитывается, так как последовательно заносится в результат.
4.
Перевести число 0.125 10 в двоичную систему счисления.
Решение:
0.125·2 = 0.25 (0 - целая часть, которая станет первой цифрой результата), 0.25·2 = 0.5 (0 - вторая цифра результата), 0.5·2 = 1.0 (1 - третья цифра результата, а так как дробная часть равна нулю, то перевод завершён).
Ответ:
0.125 10 = 0.001 2
1. Порядковый счет в различных системах счисления.
В современной жизни мы используем позиционные системы счисления, то есть системы, в которых число, обозначаемое цифрой, зависит от положения цифры в записи числа. Поэтому в дальнейшем мы будем говорить только о них, опуская термин «позиционные».
Для того чтобы научиться переводить числа из одной системы в другую, поймем, как происходит последовательная запись чисел на примере десятичной системы.
Поскольку у нас десятичная система счисления, мы имеем 10 символов (цифр) для построения чисел. Начинаем порядковый счет: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифры закончились. Мы увеличиваем разрядность числа и обнуляем младший разряд: 10. Затем опять увеличиваем младший разряд, пока не закончатся все цифры: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19. Увеличиваем старший разряд на 1 и обнуляем младший: 20. Когда мы используем все цифры для обоих разрядов (получим число 99), опять увеличиваем разрядность числа и обнуляем имеющиеся разряды: 100. И так далее.
Попробуем сделать то же самое в 2-ной, 3-ной и 5-ной системах (введем обозначение для 2-ной системы, для 3-ной и т.д.):
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 10 | 2 | 2 |
| 3 | 11 | 10 | 3 |
| 4 | 100 | 11 | 4 |
| 5 | 101 | 12 | 10 |
| 6 | 110 | 20 | 11 |
| 7 | 111 | 21 | 12 |
| 8 | 1000 | 22 | 13 |
| 9 | 1001 | 100 | 14 |
| 10 | 1010 | 101 | 20 |
| 11 | 1011 | 102 | 21 |
| 12 | 1100 | 110 | 22 |
| 13 | 1101 | 111 | 23 |
| 14 | 1110 | 112 | 24 |
| 15 | 1111 | 120 | 30 |
Если система счисления имеет основание больше 10, то нам придется вводить дополнительные символы, принято вводить буквы латинского алфавита. Например, для 12-ричной системы кроме десяти цифр нам понадобятся две буквы ( и ):
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | |
| 11 | |
| 12 | 10 |
| 13 | 11 |
| 14 | 12 |
| 15 | 13 |
2.Перевод из десятичной системы счисления в любую другую.
Чтобы перевести целое положительное десятичное число в систему счисления с другим основанием, нужно это число разделить на основание. Полученное частное снова разделить на основание, и дальше до тех пор, пока частное не окажется меньше основания. В результате записать в одну строку последнее частное и все остатки, начиная с последнего.
Пример 1. Переведем десятичное число 46 в двоичную систему счисления.
Пример 2. Переведем десятичное число 672 в восьмеричную систему счисления.
Пример 3. Переведем десятичное число 934 в шестнадцатеричную систему счисления.
3. Перевод из любой системы счисления в десятичную.
Для того, чтобы научиться переводить числа из любой другой системы в десятичную, проанализируем привычную нам запись десятичного числа.
Например, десятичное число 325 – это 5 единиц, 2 десятка и 3 сотни, т.е.
Точно так же обстоит дело и в других системах счисления, только умножать будем не на 10, 100 и пр., а на степени основания системы счисления. Для примера возьмем число 1201 в троичной системе счисления. Пронумеруем разряды справа налево начиная с нуля и представим наше число как сумму произведений цифры на тройку в степени разряда числа:
Это и есть десятичная запись нашего числа, т.е.
Пример 4. Переведем в десятичную систему счисления восьмеричное число 511.
Пример 5. Переведем в десятичную систему счисления шестнадцатеричное число 1151.
4. Перевод из двоичной системы в систему с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.).
Для преобразования двоичного числа в число с основанием «степень двойки» необходимо двоичную последовательность разбить на группы по количеству цифр равному степени справа налево и каждую группу заменить соответствующей цифрой новой системы счисления.
Например, Переведем двоичное 1100001111010110 число в восьмеричную систему. Для этого разобьем его на группы по 3 символа начиная справа (т.к. ), а затем воспользуемся таблицей соответствия и заменим каждую группу на новую цифру:
Таблицу соответствия мы научились строить в п.1.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
Т.е.
Пример 6. Переведем двоичное 1100001111010110 число в шестнадцатеричную систему.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 10 | 2 |
| 11 | 3 |
| 100 | 4 |
| 101 | 5 |
| 110 | 6 |
| 111 | 7 |
| 1000 | 8 |
| 1001 | 9 |
| 1010 | A |
| 1011 | B |
| 1100 | C |
| 1101 | D |
| 1110 | E |
| 1111 | F |
5.Перевод из системы с основанием «степень двойки» (4, 8, 16 и т.д.) в двоичную.
Этот перевод аналогичен предыдущему, выполненному в обратную сторону: каждую цифру мы заменяем группой цифр в двоичной системе из таблицы соответствия.
Пример 7. Переведем шестнадцатеричное число С3A6 в двоичную систему счисления.
Для этого каждую цифру числа заменим группой из 4 цифр (т.к. ) из таблицы соответствия, дополнив при необходимости группу нулями вначале:
3.1. Основные понятия систем счисления
3.2. Виды систем счисления
3.3. Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую
3.4. Иллюстрированный вспомогательный материал
3.5. Тестирование
3.6. Контрольные вопросы
Разные народы в разные времена использовали разные системы счисления. Следы древних систем счета встречаются и сегодня в культуре многих народов. К древнему Вавилону восходит деление часа на 60 минут и угла на 360 градусов. К Древнему Риму - традиция записывать в римской записи числа I, II, III и т. д. К англосаксам - счет дюжинами: в году 12 месяцев, в футе 12 дюймов, сутки делятся на 2 периода по 12 часов.
По современным данным, развитые системы нумерации впервые появились в древнем Египте. Для записи чисел египтяне применяли иероглифы один, десять, сто, тысяча и т.д. Все остальные числа записывались с помощью этих иероглифов и операции сложения. Недостатки этой системы - невозможность записи больших чисел и громоздкость.
В конце концов, самой популярной системой счисления оказалась десятичная система. Десятичная система счисления пришла из Индии, где она появилась не позднее VI в. н. э. В ней всего 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 но информацию несет не только цифра, но также и место позиция, на которой она стоит. В числе 444 три одинаковых цифры обозначают количество и единиц, и десятков, и сотен. А вот в числе 400 первая цифра обозначает число сотен, два 0 сами по себе вклад в число не дают, а нужны лишь для указания позиции цифры 4.
3.1. Основные понятия систем счисления
Система счисления - это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления . Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе: ;;и т. д.
Различают два типа систем счисления:
позиционные , когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;
непозиционные , когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.
Примером непозиционной системы счисления является римская: числа IX, IV, XV и т.д.
Примером позиционной системы счисления является десятичная система, используемая повседневно.
Любое целое число в позиционной системе можно записать в форме многочлена:
где S- основание системы счисления;
Цифры числа, записанного в данной системе счисления;
n - количество разрядов числа.
Пример. Число запишется в форме многочлена следующим образом:
3.2. Виды систем счисления
Римская система счисления является непозиционной системой. В ней для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква - V пять, X - десять, L - пятьдесят, C - сто, D - пятьсот, M - тысячу и т.д. Например, число 264 записывается в виде CCLXIV. При записи чисел в римской системе счисления значением числа является алгебраическая сумма цифр, в него входящих. При этом цифры в записи числа следуют, как правило, в порядке убывания их значений, и не разрешается записывать рядом более трех одинаковых цифр. В том случае, когда за цифрой с большим значением следует цифра с меньшим, ее вклад в значение числа в целом является отрицательным. Типичные примеры, иллюстрирующие общие правила записи чисел в римской система счисления, приведены в таблице.
Таблица 2.Запись чисел в римской системе счисления
Недостатком римской системы является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий с многозначными числами. По причине неудобства и большой сложности в настоящее время римская система счисления используется там, где это действительно удобно: в литературе (нумерация глав), в оформлении документов (серия паспорта, ценных бумаг и др.), в декоративных целях на циферблате часов и в ряде других случаев.
Десятичня система счисления – в настоящее время наиболее известная и используемая. Изобретение десятичной системы счисления относится к главным достижениям человеческой мысли. Без нее вряд ли могла существовать, а тем более возникнуть современная техника. Причина, по которой десятичная система счисления стала общепринятой, вовсе не математическая. Люди привыкли считать в десятичной системе счисления, потому что у них по 10 пальцев на руках.
Древнее изображение десятичных цифр (рис. 1) не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 - углов нет, 1 - один угол, 2 - два угла и т.д. Написание десятичных цифр претерпело существенные изменения. Форма, которой мы пользуемся, установилась в XVI веке.
Десятичная система впервые появилась в Индии примерно в VI веке новой эры. Индийская нумерация использовала девять числовых символов и нуль для обозначения пустой позиции. В ранних индийских рукописях, дошедших до нас, числа записывались в обратном порядке - наиболее значимая цифра ставилась справа. Но вскоре стало правилом располагать такую цифру с левой стороны. Особое значение придавалось нулевому символу, который вводился для позиционной системы обозначений. Индийская нумерация, включая нуль, дошла и до нашего времени. В Европе индусские приёмы десятичной арифметики получили распространение в начале ХIII в. благодаря работам итальянского математика Леонардо Пизанского (Фибоначчи). Европейцы заимствовали индийскую систему счисления у арабов, назвав ее арабской. Это исторически неправильное название удерживается и поныне.
Десятичная система использует десять цифр – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9, а также символы “+” и “–” для обозначения знака числа и запятую или точку для разделения целой и дробной частей числа.
В вычислительных машинах используется двоичная система счисления , её основание - число 2. Для записи чисел в этой системе используют только две цифры - 0 и 1. Вопреки распространенному заблуждению, двоичная система счисления была придумана не инженерами-конструкторами ЭВМ, а математиками и философами задолго до появления компьютеров, еще в ХVII - ХIХ веках. Первое опубликованное обсуждение двоичной системы счисления принадлежит испанскому священнику Хуану Карамюэлю Лобковицу (1670 г.). Всеобщее внимание к этой системе привлекла статья немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница, опубликованная в 1703 г. В ней пояснялись двоичные операции сложения, вычитания, умножения и деления. Лейбниц не рекомендовал использовать эту систему для практических вычислений, но подчёркивал её важность для теоретических исследований. Со временем двоичная система счисления становится хорошо известной и получает развитие.
Выбор двоичной системы для применения в вычислительной технике объясняется тем, что электронные элементы - триггеры, из которых состоят микросхемы ЭВМ, могут находиться только в двух рабочих состояниях.
С помощью двоичной системы кодирования можно зафиксировать любые данные и знания. Это легко понять, если вспомнить принцип кодирования и передачи информации с помощью азбуки Морзе. Телеграфист, используя только два символа этой азбуки - точки и тире, может передать практически любой текст.
Двоичная система удобна для компьютера, но неудобна для человека: числа получаются длинными и их трудно записывать и запоминать. Конечно, можно перевести число в десятичную систему и записывать в таком виде, а потом, когда понадобится перевести обратно, но все эти переводы трудоёмки. Поэтому применяются системы счисления, родственные двоичной - восьмеричная и шестнадцатеричная . Для записи чисел в этих системах требуется соответственно 8 и 16 цифр. В 16-теричной первые 10 цифр общие, а дальше используют заглавные латинские буквы. Шестнадцатеричная цифра A соответствует десятеричному числу 10, шестнадцатеричная B – десятичному числу 11 и т. д. Использование этих систем объясняется тем, что переход к записи числа в любой из этих систем от его двоичной записи очень прост. Ниже приведена таблица соответствия чисел, записанных в разных системах.
Таблица 3. Соответствие чисел, записанных в различных системах счисления
|
Десятичная |
Двоичная |
Восьмеричная |
Шестнадцатеричная |
| § 1.1. Системы счисления
Уроки 2 - 5
§ 1.1. Системы счисления
Ключевые слова:
Система счисления
цифра
алфавит
позиционная система счисления
основание
развёрнутая форма записи числа
свёрнутая форма записи числа
двоичная система счисления
восьмеричная система счисления
шестнадцатеричная система счисления
1.1.1. Общие сведения о системах счисления
Система счисления - это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел . Знаки, с помощью которых записываются числа (рис. 1.1), называются цифрами , а их совокупность - алфавитом системы счисления .
Рис. 1.1. Знаки, используемые для записи чисел в различных системах счисления
В любой системе счисления цифры служат для обозначения чисел, называемых узловыми; остальные числа (алгоритмические) получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.
Пример 1 . У вавилонян узловыми являлись числа 1, 10, 60; в римской системе счисления узловые числа - это 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000, обозначаемые соответственно I, V, X, L, С, D, М.
Системы счисления различаются выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. Можно выделить следующие виды систем счисления:
1) унарная система;
2) непозиционные системы;
3) позиционные системы.
Простейшая и самая древняя система - так называемая унарная система счисления . В ней для записи любых чисел используется всего один символ - палочка, узелок, зарубка, камушек. Длина записи числа при таком кодировании прямо связана с его величиной, что роднит этот способ с геометрическим представлением чисел в виде отрезков. Именно унарная система лежит в фундаменте арифметики, и именно она до сих пор вводит первоклассников в мир счёта. Унарную систему ещё называют системой бирок.
Система счисления называется непозиционной, если количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа .
В большинстве непозиционных систем счисления числа образуются путём сложения узловых чисел.
Пример 2 . В древнеегипетской системе счисления числа 1, 2, 3, 4, 10, 13, 40 обозначались соответственно следующим образом:
Те же числа в римской системе счисления обозначаются так: I, II, III, IV, X, XIII, XL. Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.
Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа . Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.
Десятичная система записи чисел , которой мы привыкли пользоваться в повседневной жизни, с которой мы знакомы с детства, в которой производим все наши вычисления, - пример позиционной системы счисления . Алфавит десятичной системы составляют цифры О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Алгоритмические числа образуются в ней следующим образом: значения цифр умножаются на «веса» соответствующих разрядов, и все полученные значения складываются. Это отчётливо прослеживается в числительных русского языка, например: «три-ста пять-десят семь ».
Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1 . Алфавитом произвольной позиционной системы счисления с основанием q служат числа О, 1, ..., q-1, каждое из которых может быть записано с помощью одного уникального символа; младшей цифрой всегда является О.
Основные достоинства любой позиционной системы счисления - простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов, необходимых для записи любых чисел.
Здесь:
А - число;
q i - «вес» i-то разряда.
Запись числа по формуле (1) называется развёрнутой формой записи. Свёрнутой формой записи числа называется его представление в виде 1
Пример 3 . Рассмотрим десятичное число 14351,1. Его свёрнутая форма записи настолько привычна, что мы не замечаем, как в уме переходим к развёрнутой записи, умножая цифры числа на «веса» разрядов и складывая полученные произведения:
1.1.2. Двоичная система счисления
Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2. Для записи чисел в двоичной системе счисления используются только две цифры: 0 и 1.
На основании формулы (1) для целых двоичных чисел можно записать:
Например:
Такая форма записи «подсказывает» правило перевода натуральных двоичных чисел в десятичную систему счисления: необходимо вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа.
Получим правило перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления из формулы (1").
Разделим на 2. Частное будет равно , а остаток будет равен a 0 .
Полученное частное опять разделим на 2, остаток от деления будет равен a 1 .
Если продолжить этот процесс деления, то на n-m шаге получим набор цифр:
которые входят в двоичное представление исходного числа и совпадают с остатками при его последовательном делении на 2.
Таким образом, для перевода целого десятичного числа в двоичную систему счисления нужно последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 2 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в двоичной системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.
Пример 4. Переведём десятичное число 11 в двоичную систему счисления. Рассмотренную выше последовательность действий (алгоритм перевода) можно изобразить так:
Выписывая остатки от деления в направлении, указанном стрелкой, получим: 11 10 = 1011 2 .
Пример 5 . Если десятичное число достаточно большое, то более удобен следующий способ записи рассмотренного выше алгоритма:
363 10 = 101101011 2
1.1.3. Восьмеричная система счисления
Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8 . Для записи чисел в восьмеричной системе счисления используются цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
На основании формулы (1) для целого восьмеричного числа можно записать:
Например: 1063 8 = 1 8 3 + 0 8 2 + 6 8 1 + 3 8 0 = 563 10 .
Таким образом, для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения.
Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю. Исходное число в новой системе счисления составляется последовательной записью полученных остатков, начиная с последнего.
Пример 6 . Переведём десятичное число 103 в восьмеричную систему счисления.
103 10 = 147 8
1.1.4. Шестнадцатеричная система счисления
Основание: q = 16.
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F .
Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0,..., 9. Для записи цифр с десятичными количественными эквивалентами 10, 11, 12, 13, 14, 15 обычно используются первые пять букв латинского алфавита.
Таким образом, запись 3AF 16 означает:
Пример 7 . Переведём десятичное число 154 в шестнадцатеричную систему счисления.
154 10 = 9А 16
1.1.5. Правило перевода целых десятичных чисел в систему счисления с основанием q
Для перевода целого десятичного числа в систему счисления с основанием g следует:
1) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, равное нулю;
2) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;
3) составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего полученного остатка.
Представим таблицу соответствия десятичных, двоичных, восьмеричных и шестнадцатеричных чисел от О до 20 10 .
В Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов (http://sc.edu.ru/) размещена интерактивная анимация «Преобразование десятичного числа в другую систему счисления» (135050). С её помощью можно понаблюдать за переводом произвольного целого числа от 0 до 512 в позиционную систему счисления, основание которой не превышает 16.
В размещённой там же виртуальной лаборатории «Цифровые весы» (135009) вы сможете освоить ещё один способ перевода целых десятичных чисел в другие системы счисления - метод разностей.
1.1.6. Двоичная арифметика
Арифметика двоичной системы счисления основывается на ис-пользовании следующих таблиц сложения и умножения:
Пример 8 . Таблица двоичного сложения предельно проста. Так как 1 + 1 = 10, то 0 остаётся в младшем разряде, а 1 переносится в старший разряд.
Пример 9 . Операция умножения двоичных чисел выполняется по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления, с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.
Таким образом, в двоичной системе счисления умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям.
1.1.7. «Компьютерные» системы счисления
В компьютерной технике используется двоичная система счисления, обеспечивающая ряд преимуществ по сравнению с другими системами счисления:
Двоичные числа представляются в компьютере с помощью достаточно простых технических элементов с двумя устойчивыми состояниями;
представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво;
двоичная арифметика наиболее проста;
существует математический аппарат, обеспечивающий логические преобразования двоичных данных.
Обмен информацией между компьютерными устройствами осуществляется путём передачи двоичных кодов. Пользоваться такими кодами из-за их большой длины и зрительной однородности человеку неудобно. Поэтому специалисты (программисты, инженеры) на некоторых этапах разработки, создания, настройки вычислительных систем заменяют двоичные коды на эквивалентные им величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления. В результате длина исходного слова сокращается в три, четыре раза соответственно. Это делает информацию более удобной для рассмотрения и анализа.
С помощью ресурса «Интерактивный задачник, раздел “Системы счисления”» (128659), размещённого в Единой коллекции цифровых образовательных ресурсов, можно проверить, насколько прочно вы усвоили изученный в этом параграфе материал.
САМОЕ ГЛАВНОЕ
Система счисления - это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Знаки, с помощью которых записываются числа, называются цифрами, а их совокупность - алфавитом системы счисления.
Система счисления называется позиционной, если количествен-ный эквивалент цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа. Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.
Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1.
В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:
Здесь:
А - число;
q - основание системы счисления;
a i - цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
n - количество целых разрядов числа;
m - количество дробных разрядов числа;
q i - «вес» i-то разряда.
Вопросы и задания
1. Ознакомьтесь с материалами презентации к параграфу, содержащейся в электронном приложении к учебнику. Что вы можете сказать о формах представления информации в презентации и в учебнике? Какими слайдами вы могли бы дополнить презентацию?
2. Найдите дополнительную информацию об унарной, позиционных и непозиционных системах счисления. Чем они различаются? Приведите примеры.
3. Цифры каких систем счисления приведены на рис. 1.1?
4. Объясните, почему позиционные системы счисления с основаниями 5, 10, 12 и 20 называют системами счисления анатомического происхождения.
5. Как от свёрнутой формы записи десятичного числа перейти к его развёрнутой форме?
6. Запишите в развёрнутой форме числа:
а) 143,511 10 ;
б) 143511 8 ;
в) 143511 16 ;
г) 1435,11 8
7. Вычислите десятичные эквиваленты следующих чисел:
а) 172 8 ;
б) 2ЕА 16 ;
в) 101010 2 ;
г) 10,1 2 ;
д) 243 6 .
8. Укажите, какое из чисел 110011 2 , 111 4 , 35 8 и 1В 16 является:
а) наибольшим;
б) наименьшим.
9. Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 123, 222, 111, 241? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.
10. Верны ли следующие равенства?
а) 33 4 = 21 7 ;
б) 33 8 = 21 4 .
11. Найдите основание х системы счисления, если:
а) 14 x = 9 10 ;
б) 2002 x . = 130 10 .
12. Переведите целые числа из десятичной системы счисления в двоичную:
а) 89;
б) 600;
в) 2010.
13. Переведите целые числа из десятичной системы счисления в восьмеричную:
а) 513;
б) 600;
в) 2010.
14. Переведите целые числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную:
а) 513;
б) 600;
в) 2010.
15. Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же число должно быть записано в системах счисления с основаниями 2, 8, 10 и 16.
Система счисления – это совокупность приёмов и правил изображения чисел цифровыми знаками. Системы счисления делятся на непозиционные и позиционные.
Непозиционная система счисления – это система, в которой значение символа не зависит от его положения в числе. Примером непозиционной системы счисления может служить римская система счисления, в которой цифры обозначаются различными знаками: Ⅰ – 1, Ⅲ – 3, Ⅵ – 6, L – 50 …
Основным недостатком такой системы является большое число различных знаков и сложность выполнения арифметических операций.
Позиционная система счисления – это система, в которой значение символа зависит от его места (позиции) в ряду цифр, изображающих число. Например, в числе 548 первая цифра означает количество сотен, вторая – десятков, третья – единиц. Позиционные системы счисления более удобны для вычислительных операций, поэтому они получили наибольшее распространение.
Позиционные системы счисления характеризуются основанием. Основание (или базис) позиционной системы счисления – это количество знаков или символов, используемых для изображения числа в разрядах данной системы счисления.
Для записи чисел в конкретной системе счисления используется некоторый конечный алфавит, состоящий и цифр: a 1 , a 2 ,…,a n . При этом каждой цифре a 1 в записи числа ставится в соответствие определённый количественный эквивалент: «вес» — S 1 .
Любое число N в позиционной системе счисления можно представить суммой произведений целых однозначных коэффициентов a 1 , взятых из алфавита системы, на последовательные целые степени основания S:
Сокращенная запись числа N S имеет вид:
При этой позиции цифр a 1 в этой записи называются разрядами. Старшие разряды, соответствующие более высоким степеням основания S, располагаются слева, а младшие – справа. Цифры a 1 в любом i-ом разряде могут принимать S различных значений, при этом всегда a i В ЭВМ приняты десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная системы счисления. Десятичная система счисления – основание S=10. Набор цифр этой системы 0, 1, 2, …, 9. Любое целое число в десятичной системе счисления записывается как сумма величин: 10 0 , 10 1 , 10 2 , …, каждая из которых может быть взята от 1 до 9 раз. Например, число 8765.31 представляет собой сокращенную запись выражения: Для физического представления чисел необходимы элементы, способные находиться в одном из нескольких устойчивых состояний. Число этих состояний должно быть равно основанию принятой системы счисления. Тогда каждое состояние будет представлять соответствующую цифру из алфавита данной системы счисления. Наиболее простыми с точки зрения технической реализации являются, так называемые, двухпозиционные элементы, способные находиться в одном из двух устойчивых состояний. Например, реле – замкнуто или разомкнуто, транзистор – заперт или открыт. Одно из этих устойчивых состояний может представлять цифру 0 или – 1. Простота технической реализации двухпозиционных элементов обеспечило наибольшее распространение в ЭВМ двоичной системы. Двоичная система счисления – основание S=2. Для записи числа используются две цифры: 0 и 1. При этом каждый старший разряд больше соседнего младшего в два раза. Любое число в двоичной системе счисления представляется в виде суммы целых степеней основания S=2, умноженных на соответствующие коэффициенты (0 или 1). Например, двоичное число Кроме двоичной системы счисления, в ЭВМ используется восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Основания этих систем соответствуют целым степеням числа 2 (8=2 3 , 16=2 4), поэтому для них исключительно просты правила перевода в двоичную систему и наоборот. Восьмеричная система счисления – основание S=8. Используются цифры: 0, 1, 2, …, 7. Любое число представляется суммой целых степеней основания S=8, умноженных на соответствующие коэффициенты a i =0, …, 7. Например, Шестнадцатеричная система счисления – основание S=16. Алфавит цифровых знаков состоит из 16-ти символов: первые десять – арабские цифры от 0 до 9 и дополнительные – A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15). Например, В табл. 1 представлена запись чисел от 0 до 16 в двоичной, восьмеричной, и шестнадцатеричной системах счисления. Таблица 1.
В некоторых ЭВМ ввод и вывод информации осуществляется в смешанных (двоично-кодированных) системах счисления, имеющих основание S>2, в которых каждая цифра числа представляется в двоичной системе. Наибольшее применение в ЭВМ получили восьмеричная, десятичная и шестнадцатеричная двоично-кодированные системы счисления. Двоично-восьмеричная система счисления. В этой системе каждая восьмеричная цифра представляется трехзначным двоичным числом – триадой. Например, = 001 011 111, 100 101 2-8. Двоично-десятичная система счисления. В этой системе каждая десятичная цифра представляет четырёхзначным двоичным числом – тетрадой. Например, 273,59 10 = 0010 0111 0011, 0101 1001 2-10. Двоично-шестнадцатеричная система счисления. В этой системе (как и в двоично-десятичной) каждая шестнадцатеричная цифра представляется четырехзначным двоичным числом (тетрадой). Например, 39C 16 =0011 1001 1100 2-16 При работе со смешанными системами счисления справедливо следующее утверждение: если P=S k (где P,S – основания систем, k – положительные целые числа), то запись любого числа в смешанной S-P системе счисления тождественно совпадает с записью этого же числа в системе счисления с основанием S с точностью до нулей в начале записи целой части числа и в конце дробной. Согласно этому утверждению, если P=8, S=2, k=3, то запись любого числа в двоично-восьмеричной системе совпадает с записью этого же числа в двоичной системе. Например: число 68 8 в двоично-восьмеричной системе будет 62 8 =110 010 2-8 ; 6 2 это же число в десятичной системе будет; если теперь число 50 10 представить в двоичной системе, получим 50 10 =110 010 2 . Таким образом, двоичная и двоично-восьмеричная запись одного итого же числа (62 8) совпадает. Если число X из системы счисления с основанием s необходимо перевести в систему счисления с основанием p, перевод осуществляется по следующим правилам: Правило 1.
При равенстве p=s k , где k – целое положительное число (например, p=8=2 3 , k=3, s=2), в этом случае: Например, Правило
2.
При не выполнении равенства p=s k (где k – целое положительное число), в этом случае: Таким образом, 26 10 = 11010 2 . Таким образом, 191 10 = 277 8 . Например, число 0,31 10 перевести в двоичную систему счисления: При переводе чисел в 10-тичную систему счисления пользуются разложением числа по степеням оснований системы счисления.десятичная
двоичная
восьмеричная
шестнадцатеричная
0
0000
0
0
1
0001
1
1
2
0010
2
2
3
0011
3
3
4
0100
4
4
5
0101
5
5
6
0110
6
6
7
0111
7
7
8
1000
10
8
9
1001
11
9
10
1010
12
A
11
1011
13
B
12
1100
14
C
13
1101
15
D
14
1110
16
E
15
1111
17
F
16
10000
20
10
старший разряд
